ロックインフィルタの周波数領域応答

はじめに

ロックインアンプの応答は、ローパスフィルタ(LPF)のパラメータ、
つまり時定数とフィルタ次数によって特徴付けられます。
LPF の時間応答は測定のレイテンシを示し、スペクトル応答は測定信号のノイズ特性を示します。
ブログ記事「ロックインフィルタの時間領域応答 [1] 」では、
LabOne ユーザインターフェイスのDAQ モジュール(旧 SW トリガ)を使用して、
復調フィルタの時間応答を測定する方法を確認できます。
現在のブログでは、LabOne の Sweeper モジュールを使用して、
これらのフィルタの周波数応答 [2] を取得する方法を学習します。
また、フィルタ次数と時定数の観点から2種類のフィルタ帯域幅の分析式も示します。


理論的背景

ロックイン増幅器の n 次復調器フィルタは、カスケード接続された n 個の
1次ローパスフィルタで構成されます。
したがって、フィルタの周波数応答は、1次フィルタ応答の n 倍の乗算によって取得されます。
時定数 τの場合、n 次フィルタの周波数応答は次の式で与えられます。

計算式

次の図は、τ= 69.23μs および最大8次のローパスフィルタの周波数応答を
線形スケールで示しています。

図1. 固定の時定数を有するローパスフィルタの、1次から8次までのフィルタ次数に対するリニアスケールでの周波数応答

図1. 固定の時定数を有するローパスフィルタの、1次から8次までのフィルタ次数に対する
リニアスケールでの周波数応答


そのようなフィルタの場合、帯域幅の二種類、すなわち 3-dB のカットオフ帯域幅および
雑音等価パワー(NEP)の帯域幅を定義することが可能です。
それらは、時定数 τとフィルタ次数 n で表すことができます。
3 dB カットオフ帯域幅 ω 3dB は、以下の式に従って、フィルタの振幅が最大値より
3 dB 小さくなる周波数として定義されます。

計算式

上記の式を使用して、n 次フィルタの Hz 単位の3 dB カットオフ帯域幅は、
ω3dB = 2π f 3dB の関係を考慮して次のように得られます。

計算式

一方、NEP 帯域幅 ωNEP は、同じパワーを持つ対応する矩形フィルタの帯域幅として定義されます。
したがって、正規化された H (ω) の NEP 帯域幅は次のように取得されます。

計算式

NEP 帯域幅は、単純な関係 ωNEP = 2 π f NEP を使用して、rad / s ではなく Hz で表すことができます。
上記の式は、n 次フィルタの NEP 帯域幅に対して次の再帰関係になります。

計算式

上記の再帰的な関係は、次のように n 次フィルタの NEP 帯域幅の明示的な式を
取得するために解決できます。

計算式

次の表は、Zurich Instruments 製のロックインアンプでの復調に使用される
時定数逆 1 /τで表される最大8次のローパスフィルタの 3 dB および NEP 帯域幅を示しています。

表

上の表を使用すると、秒 (s) の単位をもつのフィルタ時定数τに基づいて、
Hz 単位の n 次 LPF の 3 dB および NEP 帯域幅を簡単に計算できます。
また、NEP 帯域幅が 3 dB 帯域幅よりも大きく、フィルタ次数が増加すると、
2つの帯域幅が結合することも明らかです。


実験測定

このセクションでは、LabOne ユーザインターフェイスのスイーパーモジュールを使用して、
ロックインアンプのローパスフィルタの周波数応答を測定する方法を学習します。
この技術の背後にある考え方は、固定周波数を信号入力に適用し、駆動周波数の近くで
復調器の周波数を掃引することです。
スイーパーモジュールはすべての機器で使用できるため、この測定は Zurich Instruments 製の
ロックインアンプで実行できます。
この測定では、MF-MD マルチ復調オプションを備えた 5 MHz MFLI ロックイン増幅器を使用して、
ロックインフィルタの周波数応答を取得します。
図2は、機器とスイーパモジュールの適切な設定を示しています。
1 MHz の信号は、信号出力で発振器 2 から生成され、信号入力にループバックされます。
発振器 1 の周波数は、スイーパツールによって 1 MHz 付近で掃引され、
入力信号の振幅が測定されます。
フィルタの時定数はτ= 69.23μs に固定され、各測定は1~8のフィルタ次数に対して実行されます。

図2. 機器とスイーパの適切な設定、および1〜8のフィルタ次数に対する8つの測定されたフィルタ応答拡大

図2. 機器とスイーパの適切な設定、および1〜8のフィルタ次数に対する8つの測定されたフィルタ応答


図2は、同じ時定数で8つの異なるフィルタ次数を持つ8つのフィルタの
測定された周波数応答を示しています。 図2 の測定値は、図1 の理論結果に似ています。
それを確認するために、測定された応答と分析曲線の両方を対数目盛でプロットできます。
図3 は、測定によって得られ、理論と実験の間の完全な一致を示す分析式から
計算されたフィルタ応答を示しています。

図3. 理論と測定により得られた8次の復調フィルタの周波数応答。 次数が1から8に増加すると、

図3. 理論と測定により得られた8次の復調フィルタの周波数応答。 次数が1から8に増加すると、
フィルタスロープは -6 から -48 dB /オクターブに減少します。


図3 から明らかなように、与えられた時定数τに対して、3次帯域幅、したがって
NEP 帯域幅は、フィルタ次数を増やすことで減少します。
さらに、フィルタ次数が増加するにつれて、フィルタ応答はよりシャープになります。
これらの特性は、適切な測定構成をセットアップする際に留意する必要があります。
ロックイン測定の詳細については、ロックイン検出の原理に関する Zurich Instruments の
ホワイトペーパーを参照してください [3]。


結論

このブログでは、3 dB およびNEP帯域幅の2つの分析式が、フィルタ次数と時定数の観点から示されています。 さらに、フィルタ応答を測定する手法が提案されています。
この方法では、LabOne のスイーパモジュールを使用して、ロックインアンプに配置されたローパスフィルタの周波数応答を取得します。


参照資料

  1. M. Alem, “Time-Domain Response of Lock-in Filters.” 
  2. Wikipedia: “Frequency response.”
  3. Zurich Instruments: “Principles of lock-in detection and the state of the art.” 

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