ロックインフィルターの時間領域応答
はじめに
ロックインアンプの心臓部は、信号ミキサとローパスフィルターを含む位相敏感検出器です。
この投稿では、MFLI、HF2LI、UHFLI などのチューリッヒインスツルメンツのロックインアンプに実装されているローパスフィルターの時間応答に焦点を当てています。
フィルターの時間応答には、そのインパルス応答とステップ応答が含まれます。
前者は入力としてのディラックデルタ関数 [1] に対するフィルターの応答であり、後者はヘビサイドステップ関数 [2] へのフィルター応答です。
まず、Zurich Instruments Lock-in Amplifiers で使用される次数 n のローパスフィルターの数学的応答は、そのラプラス変換から導出されます [3] 。
次に、LabOne ユーザーインターフェースのソフトウェアトリガ（現在は DAQ と呼ばれる）モジュールを使用して、フィルターの実際の応答を測定します。
最後に、分析結果を実験測定値と比較して、提案された時間領域応答の精度を評価します。
理論的応答
時定数 tc =ωc-1 の１次ローパスフィルタ（LPF）を考えます。 フィルタの伝達関数は、次のように簡単に表されます [4]。
フィルタのインパルス応答は、次の式で与えられる伝達関数の逆ラプラス変換を行うことで得られます。
ここで、u（t）はヘビサイドステップ関数です。フィルターのステップ応答は、次の積分を介して計算されます。
１次 LPF に対して上記の式を使用すると、ステップ応答は次のように取得されます。
高次フィルターは、カスケード １次フィルターを介して ZI ロックインアンプに実装されるため、n 次の LPF の伝達関数は次のようになります。
ラプラス変換テーブル [3] を使用して上記の伝達関数の逆ラプラス変換を行うと、次数 n のローパスフィルターに対して次のインパルス応答が得られます。
最後に、次のように上記のインパルス応答を積分することにより、次数 n のローパスフィルターのステップ応答が導出されます。
この式は、n = 1 から n = 8 までの異なる次数を持つすべての Zurich Instrumentsプラットフォームの復調器フィルターのステップ応答を示しています。
図1 は、1 ms の任意の時定数で異なる次数の LPF のインパルス応答をプロットしています。
フィルター次数が高いほど、フィルター応答が遅くなることを明確に示しています。
図1. 1 ms の時定数で 1 から 8 までの異なる次数のローパスフィルターのインパルス応答
さらに、このようなフィルタのステップ応答は、上記の最後の式を使用して描画できます。
各フィルタ次数のフィルタインパルスとステップ応答をプロットするための MATLAB コードは、ここから入手できます。 コードの中核は、次のステップ応答の反復計算です。
図2は、１から８までのさまざまなフィルタ次数に対するこのようなステップ応答を示しています。
図2. 1 から 8 までの異なる次数のローパスフィルタのステップ応答
ソフトウェアトリガ（DAQ）による測定
LabOne ユーザーインターフェースのツールボックスには、時間領域の過渡状態の測定に使用できるソフトウェアトリガ（DAQモジュール）と呼ばれるツールがあります。
この場合、復調器フィルターのステップ応答は、システムの過渡状態として測定されます。
まず、図3 に示すようにソフトウェアトリガパラメーターを設定して、フィルター応答を測定できるようにし、復調器フィルターの最終値が 100 mV になるようにします。 しきい値レベルは 20 mV に設定され、測定時間範囲は22 ミリ秒（-4 から16 ミリ秒）で、約 22 の時定数の範囲をカバーします（フィルター時定数は 981.1µs ≈1 ミリ秒に設定されます）。
測定を実行するには、BNC ケーブルを介して信号入力 1 を信号出力 1 に接続し、フィルター次数を設定してから、Amp 1 をオン/オフして過渡状態を取得する必要があります。
図3 は、１〜８の異なる次数に対する復調器フィルターの過渡応答も示しています。
図3. デバイスとソフトウェアトリガ設定、および 1〜8 次の復調器フィルターの測定されたステップ応答を示す LabOne ユーザーインターフェースのスクリーンショット
上記の最後の式で与えられた分析応答と、ソフトウェアトリガツールを使用して UHFLI から得られた測定応答の比較は、理論と実験の完全な一致を示しています。
図4は、１〜８ の異なる次数の復調器フィルターの測定および分析ステップ応答を示しており、デバイスの実際の実装とその理論的期待値との完璧な一致を証明しています。
図4. １次から８次までの実験測定と復調器フィルターの分析応答の比較
開始時間をゼロにシフトし、0.1 V の振幅を 1 に正規化するためにプロットする前に、実験データが処理されたことに言及する価値があります。
結論
このブログ投稿では、Zurich Instruments デバイスで使用される復調器フィルターの時間領域応答が分析形式で提示されています。
インパルス応答とステップ応答の両方が含まれます。
さらに、分析ステップ応答は、LabOne ユーザーインターフェースのソフトウェアトリガ（DAQ）モジュールで測定された実験と比較することで評価されています。
式は、機器の実際の反応と完全に一致していることがわかります。
提案された分析応答は、Zurich Instruments 製品が関係する実験セットアップの動作をシミュレートする際に使用できます。
参照資料
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①ウィキペディア：Dirac delta function
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②ウィキペディア：ヘビサイドステップ関数
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③ウィキペディア：ラプラス変換
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④ウィキペディア：ローパスフィルタ